A class of 20 students borrowed library books for their research project. Some of the students borrowed 3 books each, and the rest borrowed 2 books each. If a total of 52 books were borrowed, how many of the students borrowed, how many of the students borrowed 3 books each?

একজন দোকানদার দাঁড়িপাল্লার বাম পাল্লায় 5 কেজি ওজনের একটি বাটখারা ও ডান পাল্লায় কিছু আলু দিলেন। পাল্লা দুইটির জিনিসের ওজন কি সমান হয়েছে? এখানে আলুর ওজন কত তা নির্দিষ্টভাবে বলা সম্ভব নয়; এটি অজানা বা অজ্ঞাত।
এবার দোকানদার ডান পাল্লায় আলুর সাথে 1 কেজি ওজনের একটি বাটখারা দেওয়ায় দুই পাল্লার জিনিসের ওজন সমান হয়েছে। আলুর অজানা ওজন x কেজি ধরা হলে, ডান পাল্লায় বাটখারাসহ জিনিসের মোট ওজন হবে (x + 1) কেজি। অতএব, আমরা লিখতে পারি, x + 1 = 5 ; এটি একটি সমীকরণ।

x + 1 = 5 একটি গাণিতিক খোলা বাক্য ও একটি সমতা। সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক খোলা বাক্যকে সমীকরণ বলা হয়। এখানে অজানা বা অজ্ঞাত রাশি x কে চল বা চলক বলা হয়।
প্রধানত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর x, y, z চলক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি, অজানা বা অজ্ঞাত রাশি বা চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্য হলো সমীকরণ।

একটি সমীকরণের দুইটি পক্ষ থাকে। সমান (=) চিহ্নের বাম পাশের রাশিকে বামপক্ষ এবং ডান পাশের রাশিকে ডানপক্ষ বলা হয়।

সরল সমীকরণ

অজ্ঞাত রাশির বা চলকের একঘাতবিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে x + 1 = 5, 2x - 1 = 3

2y + 3 = y - 5 2z - 1 = 0 এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ বা সরল সমীকরণ।

x + y = 3, 2x = y - 5 এগুলো দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ।

(১) যোগের ও গুণের বিনিময়বিধি

a, b এর যেকোনো মানের জন্য, a + b = b + a এবং ab = ba

(২) গুণের বণ্টনবিধি

a, b, c এর যেকোনো মানের জন্য, a(b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca

আমরা সমীকরণটি লক্ষ করি: x + 3 = 7

(ক) সমীকরণটির অজ্ঞাত রাশি বা চলক কোনটি?
(থ) সমীকরণটির প্রক্রিয়া চিহ্ন কোনটি?
(গ) সমীকরণটি সরল সমীকরণ কি না?
(ঘ) সমীকরণটির মূল কত?

আমরা জানি চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে সমীকরণ বলে। আর চলকের এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে। সরল সমীকরণ এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট হতে পারে।

যেমন, x + 3 = 7, 2y - 1 = y + 3, 3z - 5 = 0, 4 + 3 = x - 1,

x + 4y - 1 = 0, 2x - y + 1 = x + y ইত্যাদি, এগুলো সরল সমীকরণ।

সমীকরণ সমাধান করে চলকের যে মান পাওয়া যায়, একে সমীকরণটির মূল বলে। মূলটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, চলকটির ঐ মান সমীকরণে বসালে সমীকরণটির দুইপক্ষ সমান হয়।

সমীকরণ সমাধানের জন্য চারটি স্বতঃসিদ্ধ আছে, তা আমরা জানি। এগুলো হলো:

• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটি থেকে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।

(১) পক্ষান্তরবিধি

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে 5 এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে বামপক্ষ থেকে ডানপক্ষে গেছে। সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে 3x এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষে গেছে।

উদাহরণ ১। সমাধান কর: x + 3 = 9

সমাধান: x + 3 = 9

বা, x = 9 - 3 [পক্ষান্তর করে]

বা, x = 6

∴ সমাধান: x = 6

(২) বর্জনবিধি

(a) যোগের বর্জনবিধি:

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে উভয়পক্ষ থেকে 3 বর্জন করা হয়েছে।

সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে উভয়পক্ষ থেকে -5 বর্জন করা হয়েছে।

বিকল্প নিয়ম: x + 3 = 9

বা, x + 3 - 3 = 9 - 3 [উভয়পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে]

বা, x = 6

∴ সমাধান: x = 6

(b) গুণের বর্জনবিধি

(খ) এর ক্ষেত্রে প্রদত্ত সমীকরণটির উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক সরাসরি বর্জন করা যায়।

উদাহরণ ২। সমাধান কর ও শুদ্ধি পরীক্ষা কর: 4y - 5 = 2y - 1

সমাধান: 4y - 5 = 2y - 1

বা, 4y - 2y = - 1 + 5 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2y = 4

বা, 2y = 2 $\times$ 2

বা, y = 2 [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]

∴ সমাধান: y = 2

শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রদত্ত সমীকরণে y এর মান 2 বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = 4y - 5 = 4 $\times$ 2 - 5 = 8 - 5 = 3

ডানপক্ষ = 2y - 1 = 2 $\times$ 2 - 1 = 4 - 1 = 3

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

∴ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

(৩) আড়গুণনবিধি

সমীকরণটির (খ) এর ক্ষেত্রে লিখতে পারি,

উদাহরণ ৩। সমাধান কর: $\frac{2z}{3}-\frac{z}{6}=-\frac{3}{4}$

সমাধান:

$\frac{2z}{3}-\frac{z}{6}=-\frac{3}{4}$

বা, $\frac{4z-z}{6}=-\frac{3}{4}$[বামপক্ষে হর 3,6 এর ল.সা.গু. 6]

বা, $\frac{3z}{6}=-\frac{3}{4}$

বা, $\frac{z}{2}=-\frac{3}{4}$

বা, $4\times z = 2\times (- 3)$[আড়গুণন করে]

বা, $2 \times 2z = 2\times (- 3)$

বা, 2z = - 3 [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]

বা, $\frac{2z}{2}=-\frac{3}{2}$[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে।]

বা, $z=-\frac{3}{2}$

∴ সমাধান: $z=-\frac{3}{2}$

(৪) প্রতিসাম্যবিধি

সমীকরণ: 2x + 1 = 5x - 8

বা, 5x - 8 = 2x + 1

একই সাথে বামপক্ষের সবগুলো পদ ডানপক্ষে ও ডানপক্ষের সবগুলো পদ বামপক্ষে কোনো চিহ্ন পরিবর্তন না করে স্থানান্তর করা যায়। একে বলা হয় প্রতিসাম্যবিধি।

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধসমূহ ও বিধিসমূহ প্রয়োগ করে একটি সমীকরণকে অপর একটি সহজ সমীকরণে রূপান্তর করে সবশেষে তা x = a আকারে পাওয়া যায়। অর্থাৎ, চলক x এর মান a নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ ৪। সমাধান কর: 2(5 + x) = 16

সমাধান: 2(5 + x) = 16

বা, 2 $\times$ 5 + 2$\times$x = 16[বণ্টনবিধি অনুসারে

বা. 10 + 2x = 16

বা, 2x = 16 - 10 [পক্ষান্তরবিধি]

বা, 2x = 6

বা, $\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}$[গুণের বণ্টনবিধি]

∴ সমাধান x = 3

উদাহরণ ৫। সমাধান কর:

$\frac{3x + 7}{4}+ \frac{5x - 4}{7} = x + 3\frac{1}{2}$

সমাধান:

$\frac{3x + 7}{4}+ \frac{5x - 4}{7} = x + 3\frac{1}{2}$

বা, $\frac{3x + 7}{4} + \frac{5x - 4}{7}- x =\frac{7}{2}$[পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{7(3x + 7) + 4(5x - 4) - 28x}{28} = \frac{7}{2}$[বামপক্ষে হর 4, 7 এর ল.সা.গু. 28]

বা, $\frac{21x + 49 + 20x - 16 - 28x}{28} = \frac{7}{2}$[বণ্টনবিধি অনুসারে]

বা, $\frac{13x + 33}{28} =\frac{7}{2}$

বা, $28 \times \frac{13x + 33}{28} = 28 \times \frac{7}{2}$ [উভয়পক্ষকে 28 দ্বারা গুণ করে]

বা, 13x + 33 = 98

বা, 13x = 98 - 33

বা, 13x = 65

বা, $\frac{13x}{13} =\frac{65}{13}$ [উভয়পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে।]

বা, x = 5

∴ সমাধান: x = 5

স্থানাঙ্কের ধারণা

ফ্রান্সের বিখ্যাত গণিতবিদ রেনে দেকার্তে (Rene Descartes 1596-1650) সর্বপ্রথম স্থানাঙ্কের ধারণা দেন। তিনি দুটি পরস্পরছেদী লম্বরেখার সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান ব্যাখ্যা করেন।

একটি শ্রেণিকক্ষে একক আসনবিন্যাসে একজন শিক্ষার্থীর অবস্থান কোথায় জানতে হলে অনুভূমিক রেখা বা শয়ান রেখা বরাবর কোথায় আছে এবং উল্লম্ব রেখা বা খাড়া রেখা বরাবর কোথায় আছে তা জানা দরকার।

ধরি, শ্রেণিকক্ষে একজন শিক্ষার্থী লিজা (L)-এর অবস্থান জানতে চাই। লিজার অবস্থানকে একটি বিন্দু (•) হিসেবে বিবেচনা করা যায়। চিত্রে লক্ষ করি, লিজা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে অনুভূমিক রেখা OX বরাবর 3 একক দূরে M বিন্দুতে এবং সেখান থেকে উল্লম্ব রেখা OY এর সমান্তরাল রেখা বরাবর উপরদিকে 2 একক দূরে L বিন্দুতে অবস্থান করছে। তার এ অবস্থানকে (3, 2) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিন্দু পাতন

ছক কাগজে সমান দূরে পরস্পরছেদী সমান্তরাল সরলরেখা দ্বারা ছোটো ছোটো বর্গে বিভক্ত করা থাকে। ছক কাগজে কোনো বিন্দুর অবস্থান দেখানোকে বা কোনো বিন্দু স্থাপন করাকে বিন্দু পাতন বলে। বিন্দু পাতনের জন্য সুবিধামতো দুটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা নেওয়া হয়। চিত্রে XOX'ও YOY' রেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বিন্দুকে বলা হয় মূলবিন্দু। অনুভূমিক রেখা XOX' কে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখা YOY' কেy-অক্ষ বলা হয়।

প্রধানত ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক হিসেবে ধরা হয়। সাধারণভাবে যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ককে (x, y) লেখা হয়। X-কে বলা হয় বিন্দুটির x-স্থানাঙ্ক বা ভুজ এবং y-কে বলা হয় বিন্দুটির -স্থানাঙ্ক বা কোটি। স্পষ্টতই মূলবিন্দু O এর স্থানাঙ্ক হবে (0,0)।

মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষের ডানদিক ধনাত্মক দিক ও বামদিক ঋণাত্মক দিক। আবার, মূলবিন্দু থেকে -অক্ষের উপরের দিক ধনাত্মক দিক ও নিচের দিক ঋণাত্মক দিক। ফলে ছকটি অক্ষদ্বয় দ্বারা চারটি ভাগে বিভক্ত হয়েছে। এইভাগ চারটি ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিক অনুযায়ী ১ম, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ চতুর্ভাগ হিসেবে পরিচিত। প্রথম চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর x স্থানাঙ্ক ও স্থানাঙ্ক উভয়ই ধনাত্মক, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ধনাত্মক, তৃতীয় চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক এবং চতুর্থ চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ধনাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক।

পূর্বের অনুচ্ছেদে আলোচিত লিজার অবস্থান (3, 2) নির্ণয় করার জন্য প্রথমে x-অক্ষ বরাবর ডানদিকে 3 একক দূরত্বে যেতে হবে। তারপর সেখান থেকে খাড়া উপর দিকে 2 একক দূরত্বে যেতে হবে। তা হলে লিজার অবস্থান L বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে (3,2)। অনুরূপভাবে চিত্রে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2,4)।

উদাহরণ ১। ছক কাগজে নিচের প্রথম চারটি বিন্দু স্থাপন করে তীর চিহ্ন অনুযায়ী যোগ কর: (3, 2) $\to$ (6, 2) $\to$ (6, 4) $\to$ (3, 4) । চিত্রটির জ্যামিতিক আকৃতি কী হবে?

সমাধান: ধরি, বিন্দু চারটি যথাক্রমে A, B, C, D। অর্থাৎ, A(3, 2) B(6, 2) C(6,4) এবং D(3, 4) । ছক কাগজে উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। A বিন্দুটি স্থাপন করতে মূলবিন্দু O থেকে x-অক্ষের ডানদিক বরাবর 3টি ছোট বর্গের বাহুর সমান দূরে গিয়ে উপরের দিকে ২টি ছোটো বর্গের বাহুর সমান উঠে গেলে যে বিন্দুটি পাওয়া যাবে, তা A বিন্দু। অনুরূপভাবে প্রদত্ত অবশিষ্ট বিন্দুসমূহ স্থাপন করি। তারপর A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ A এভাবে বিন্দুগুলো যোগ করি। এতে ABCD চিত্রটি পাওয়া গেল। দেখা যায় যে, ABCD চিত্রটি একটি আয়ত।

লেখচিত্রে সমীকরণের সমাধান

লেখচিত্রের সাহায্যে সহজেই সমীকরণের সমাধান বের করা যায়। মনে করি, 2x - 5 = 0 সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। সমীকরণের বামপক্ষ 2x - 5 রাশিতে x-এর বিভিন্ন মান বসালে রাশিটির বিভিন্ন মান পাওয়া যায়। লেখচিত্রে প্রতিটি X কে ভুজ এবং রাশিটির মানকে কোটি ধরে একটি করে বিন্দু পাওয়া যাবে। বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা অঙ্কিত হবে। সরলরেখাটি যে বিন্দুতে x অক্ষকে ছেদ করে, সেই বিন্দুর ভুজই নির্ণেয় সমাধান। কেননা, x-এর এই মানের জন্য রাশিটির মান 0 হয়, যা সমীকরণের ডানপক্ষের মানের সমান হয়। এ ক্ষেত্রে সমীকরণটির সমাধান $x=\frac{5}{2}$।

উদাহরণ ২। 3x - 6 = 0 সমাধান কর এবং লেখচিত্রে সমাধান প্রদর্শন কর।

সমাধান: 3x - 6 = 0

বা, 3x = 6 [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}$[উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 2

∴ সমাধান: x = 2

লেখচিত্র অঙ্কন: প্রদত্ত সমীকরণ 3x-6=0

x এর কয়েকটি মান নিয়ে 3x - 6 এর অনুরূপ মান বের করি এবং নিচের ছকটি তৈরি করি:

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য তিনটি বিন্দু (2,0), (5,9) ও (6,12) নেওয়া হলো।

মনে করি, পরস্পর লম্ব রেখা XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু।

ছক কাগজে উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (2,0), (5,9), (6,12) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। তারপর বিন্দুগুলো পরপর সংযোগ করি। লেখচিত্রে একটি সরলরেখা পাই। সরলরেখাটি x-অক্ষকে (2,0) বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির ভুজ হলো 2। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান x = 2 ।

উদাহরণ ৩। লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর: 3x - 4 = - x + 4

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ 3x - 4 = - x + 4

x এর কয়েকটি মান নিয়ে 3x - 4 এর অনুরূপ মান বের করি এবং পাশের ছক-১ তৈরি করি:

∴ 3x - 4 এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0,-4), (2,2), (4,8) নিই।

ছক-১

আবার, x এর কয়েকটি মান নিয়ে - x + 4 এর অনুরূপ মান বের করি এবং পাশের ছক-২ তৈরি করি:

∴ -x + 4 এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0,4), (2,2), (4,0) নিই।

মনে করি, পরস্পর লম্ব রেখা XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও ৮-অক্ষ এবং মূলবিন্দু। এখন, ছক-১ এ প্রাপ্ত (0,-4), (2,2), (4, 8) বিন্দু তিনটি স্থাপন করি এবং এদের পরপর সংযোগ করি।

ছক-২

(0,4), (2, 2), (4,0) বিন্দু তিনটি স্থাপন করি ও এদের পরপর সংযোগ করি। এক্ষেত্রেও লেখচিত্রে একটি সরলরেখা পাই।

লক্ষ করি, সরলরেখা দুটি পরস্পর (2,2) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে 3x-43-x+4 এর মান পরস্পর সমান। সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান হলো (2, 2) বিন্দুতে ভুজের মান, অর্থাৎ x = 2 ।